2次方程式のaの値は？解がわかっているときどのように求める？

テストや教科書の応用問題でよく出る問題の解説です。

解が1つわかっているとき、\(a\) の値ともうひとつの解は？

具体的には次のような問題です。

問題

２次方程式 \(x^2+ax-12=0\) の解の1つが６であるとき，
\(a\) の値ともう1つの解を求めなさい。

解の1つが６、つまり \(x=6\) であるということなので、\(x^2+ax-12=0\) に代入すると

\(6^2+6a-12=0\) となり、これを \(a\) について解くと、

\(36+6a-12=0\)
\(6a=-24\)
\(a=-4\)
となる。

\(a=-4\) とわかったので、\(x^2+ax-12=0\) に代入すると
\(x^2-4x-12=0\)
左辺を因数分解して
\((x-6)(x+2)=0\) となるので
\(x=6\) ，\(x=-2\) とわかるので、
もう1つの解は \(x=-2\)

わかっている値を代入して求める、オーソドックスな解き方でした。

解の1つが６、つまり \(x=6\) であるということなので、\(x^2+ax-12=0\) の左辺を因数分解すると
\((x-6)(x+\)？\()=0\) となることがわかる。

ここで、左辺を展開して \(x^2+ax-12=0\) と一致しないといけないので、
－6 と？の積が「－12」であることがわかるので、？＝\(2\)

よって、\((x-6)(x+2)=0\) とわかるので、もう1つの解は \(x=-2\) である。
左辺を展開して、
\(x^2-4x-12=0\) となるので、 \(a=-4\) となる。

こっちの解き方の方が、ラクに求めることができますね。

具体的には次のような問題です。

問題

２次方程式 \(x^2+ax+b=0\) の解が５と－６のとき，
\(a\) と \(b\) の値をそれぞれ求めなさい。

解が５と－６、つまり \(x=5\) 、\(x=-6\) であるということなので、\(x^2+ax+b=0\) にそれぞれ代入すると
\(\begin{cases} 25+5a+b=0 \\ 36-6a+b=0 \end{cases}\)

となり、連立方程式ができるので、解くと、

\(\begin{cases} 5a+b=-25 \\ -6a+b=-36 \end{cases}\)
上の式から下の式をひいて
\(11a=11\)
\(a=1\) となる。

\(a=1\) を上の式に代入して、
\(25+5 \times 1 +b=0\)
\(b=-30\) となる。

これもわかっている値を代入して求める、オーソドックスな解き方です。

解が５と－6、つまり \(x=5\) 、\(x=-6\) であるということなので、\(x^2+ax+b=0\) の左辺を因数分解すると
\((x-5)(x+6)=0\) となることがわかる。

ここで、左辺を展開して \(x^2+ax+b=0\) と一致しないといけないので、
\((x-5)(x+6)=0\) の左辺を展開して
\(x^2+x-30=0\) となるので、
\(a=1\) 、 \(b=-30\)
となる。

こっちの解き方の方が、かなりラクに求めることができますね。

● 文字の値がわかっているときは、代入するとよい。

● 2次方程式の解がわかっているなら、左辺を因数分解すると \((x+\)◯\()(x+\)△\()=0\) になることを利用する！