中2で学習する連立方程式。文字が2種類ある2元1次方程式を2つ組み合わせたできた式を連立方程式といいましたね。
この記事では、文字が3種類ある連立方程式はあるのか？そしてその連立方程式はどのように解けばいいのか、といったことを解説していきいます！
中2で学ぶ 連立方程式 をおさらい
例えば、次のような式
\(x + y = 5\)
これは 2元1次方程式 といって、文字が2種類（ \(x\) と \(y \) ）含まれる1次方程式のことをいいました。
では、この方程式の解はどうなるでしょう？
例えば
\(x=1,y=4\)
\(x=2,y=3\)
\(x=3,y=2\) ……
などと、この方程式だけでは 無限に解が存在 することが分かりますね。
そこで、別の2元1次方程式を組み合わせてみましょう。
2つの方程式を組み合わせると？
次のように、もう1つの2元1次方程式を用意します。
\(x \,- y = 1\)
この2つの方程式を組み合わせたものが、 連立方程式 です。
\(\begin{cases}
x + y = 5 \\
x \,- y = 1
\end{cases}\)
それぞれの2元1次方程式の解は無限に存在しますが、連立方程式にすれば、そのどちらの方程式も成り立たせる文字の値は1つに決まるため、解を求めることができます。
実際に解いてみる
1つ目の方程式は
\(x + y = 5\) …①
2つ目の方程式は
\(x \,- y = 1\) …②
ここから、加減法を使って \(y\) を消去します。
まず、2つの式の両辺を足し合わせると
\(2x = 6\)
\(x=3\)
次に、この \(x = 3\) をどちらかの式に代入します。①の式に代入すると
\(3+y=5\)
\(y=2\)
したがって、この連立方程式の解は
\((x, y) = (3, 2)\)
このように、2元1次方程式では 2つの方程式を組み合わせると解が1つに決まる ことが分かりますね！
では、3元1次方程式はどうなるのか？
次は 3元1次方程式 の話です。
3元1次方程式とは、文字が3種類（ \(x \) と \(y \) と \(z \) ）含まれる1次方程式のことをいいます。
たとえば
\(x + y + z = 6\)
のような式です。
この方程式の解は
\(x=0,y=4,z=2\)
\(x=-1,y=2,z=5\)
\(x=3,y=8,z=-5\) ……
と、やはりこの方程式だけでは 無限に解が存在 します。
2元1次方程式では、方程式を2つ組み合わせると解が1つに決まったことを踏まえると、3元1次方程式では方程式をいくつ組み合わせれば解が1つに決まるでしょう･･･？
そう！3つ組み合わせれば解は1つに決まります。
例えば、次のような連立方程式です。
\(\begin{cases}
x + y + z = 6 \cdots ① \\
2x – y + z = 10 \cdots ② \\
x – 2y – z = -4 \cdots ③
\end{cases}\)
中2で習う連立方程式は、加減法や代入法で文字を消去して、文字を1つにして解いたことを踏まえると、この連立方程式はどのように解けばいいのでしょう･･･？
実際に解いてみる
ステップ1：1つの文字を消去して、2元1次方程式にする
まず、①の式を使って \(z \) を他の文字で表します（ \(z \) について解く）。
\(z = 6 – x – y \cdots ④\)
この \(z = 6 – x – y\) を、② と ③ に代入して、\(z \) を消去します。
②に代入
\(2x – y + (6 – x – y) = 10\)
これを計算します。
\(2x – y + 6 – x – y = 10\)
\(x- 2y = 4 \cdots ⑤\)
③に代入
\(x – 2y – (6 – x – y) = -4\)
これを計算します。
\(x – 2y – 6 + x + y = -4\)
\(2x – y = 2 \cdots ⑥\)
ステップ2：2元1次方程式を解く
ここで、2元1次方程式が次のように完成しました。
\(\begin{cases}
x – 2y = 4 \cdots ⑤\\
2x – y = 2 \cdots ⑥
\end{cases}\)
まず、⑤を変形して \(x \) を \(y \) で表します（ \(y \) について解く）。
\(x = 2y + 4 \cdots ⑦\)
この \(x = 2y + 4\) を ⑥ に代入します。
\(2(2y + 4) – y = 2\)
これを計算します。
\(4y + 8 – y = 2\)
\(3y = -6\)
\(y = -2\)
ステップ3：残りの \(x \) と \(z \) を求める
この \(y = -2\) を ⑦ に代入して \(x \) を求めます。
\(x = 2\times(-2) + 4\)
\( x = 0\)
さらに、この \(x = 0\) と \(y = -2\) を ④ に代入して \(z\) を求めます。
\(z = 6 – 0 – (-2)\)
\( z = 8\)
したがって、この連立方程式の解は
\(x=0, y=-2,z=8\)
となります。
まとめ
● 3元1次方程式では、文字が3種類あるため1つの方程式だけでは解が無限に存在するが、3つの方程式を組み合わせると解が1つに決まる。
● 解き方は、中学校で学んだ2元1次方程式の連立方程式と同じように、文字を1つずつ消去し、最終的に1元1次方程式に帰着させて解く方法である。
● 文字の種類が増えても、解き方の基本的な考え方は変わらない！
新しい知識に挑戦するときも、これまで学んだことを土台にすれば意外とスムーズに進められるものです。この手順をしっかり覚えておけば、さらに複雑な問題にも取り組めるはずです！
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