連立方程式×割合の文章題の解き方｜間違いやすい式の立て方を解説！

「割合の文章題ってややこしい…」「連立方程式は立てられるけど、答えが合わない…」そんな経験はありませんか？

この記事では、割合を含む連立方程式の文章題を、表で整理しながら解く方法を紹介します。

さらに、よくある間違いのパターンや、式をどう立てればいいかの考え方まで、しっかり解説します！

表をつくって情報を整理しよう

割合の文章題のポイントは、表をつくって情報を整理することです。

昨年の男子の人数を \(x\) 人、女子の人数を \(y\) 人とすると

	男子	女子	合計
昨年の 人数	\(x\)	\(y\)	200
？？？	\(\displaystyle \frac{20}{100}x\)	\(−\displaystyle \frac{15}{100}y\)	198

となり、次のような連立方程式ができます。

\(\begin{cases} x+y=200 \\ \displaystyle \frac{20}{100}x − \displaystyle \frac{15}{100}y =198 \end{cases}\)

しかし、この連立方程式は間違いです。

なぜなら、下の方程式の左辺は「増えた人数」を表しているのに、右辺は「今年の人数」になっているからです。

増えた人数は、2人減った（200→198）ので「－2」となるので、正しく表をつくると

	男子	女子	合計
昨年の 人数	\(x\)	\(y\)	200
増えた 人数	\(\displaystyle \frac{20}{100}x\)	\(−\displaystyle \frac{15}{100}y\)	－2

となり、正しい連立方程式は

\(\begin{cases} x+y=200 \\ \displaystyle \frac{20}{100}x − \displaystyle \frac{15}{100}y =−2 \end{cases}\)

となります。

割合の文章題では、２元１次方程式が３つ立てられる！

実は、もう1つ、今年の人数をそのまま方程式にする方法もあります。

・男子は昨年の \(x\) 人より20%増えたので、今年は \(\displaystyle \frac{120}{100}x\) 人

・女子は昨年の \(y\) 人より15%減ったので、今年は \(\displaystyle \frac{85}{100}y\) 人

ですので、

	男子	女子	合計
昨年の 人数	\(x\)	\(y\)	200
増えた 人数	\(\displaystyle \frac{20}{100}x\)	\(−\displaystyle \frac{15}{100}y\)	－2
今年の 人数	\(\displaystyle \frac{120}{100}x\)	\(\displaystyle \frac{85}{100}y\)	198

という表になり、次のように３つの正しい方程式が立てられます。

\(\begin{cases} x+y=200 \\ \displaystyle \frac{20}{100}x − \displaystyle \frac{15}{100}y =−2 \\ \displaystyle \frac{120}{100}x + \displaystyle \frac{85}{100}y =198 \end{cases}\)

このうちどれか２つの方程式を連立すれば、正しい答えにたどり着きます。

大事なのは

どの式も、何についての方程式を立てているのか意識すること！
意味の異なる数量についての方程式を立てると、間違った連立方程式になります。

連立方程式を解いてみよう

「昨年の人数」と「増えた人数」についてつくった連立方程式

「昨年の人数」と「今年の人数」についてつくった連立方程式

どちらも、答えは

昨年の男子→80人、昨年の女子→120人

となっていますね。

まとめ

割合の文章題では