中3で学ぶ内容に、関数 \(y = ax^2\) があります。この関数の 変化の割合 は \(x\) が \(s\) から \(t\) まで変化したとき、\(a ( s + t )\) となります。
この記事では、関数 \(y = ax^2\) の変化の割合がなぜ \(a( s + t )\) という式で求められるかを詳しく解説します！
そもそも「変化の割合」って何？
まず、「変化の割合」の意味をおさらいしましょう。
変化の割合とは、 \(x\) が”1″増えたときに \(y\) がどれだけ増えるのかを表したものです。
求め方は次のようになります。
（変化の割合）＝ \(\frac{{y}\text{の増加量}}{{x}\text{の増加量}}\)
変化の割合を求めることで、\(x\) が増えたり減ったりしたときに、それに応じて \(y\) がどう変わるのかがわかり、グラフの傾きや形を詳しく知ることができます。
\(y = ax^2\) の変化の割合を計算してみよう
では、具体的に関数 \(y = ax^2 \) の変化の割合を計算してみましょう。
たとえば、 \(x\) が \(s\) から \(t\) まで変化したとしましょう。
このとき、\(x\) と \(y\) の関係は下の表のようになります。
| \(x\) | \(s\) | → | \(t\) |
| \(y\) | \(as^2\) | → | \(at^2\) |
このとき、\(x\) の増加量は、（変化後）ー（変化前）を計算して
\(x\) の変化量 = \(t – s\)
となります。
次に、\(y\) の増加量は次のように表せます。
\(y\) の変化量 = \(a t^2 – a s^2\)
よって、変化の割合は、
（変化の割合） = \(\displaystyle \frac{a t^2 – a s^2}{t – s}\)
となります。
次に、分子に注目して、 \(a t^2 – a s^2\) を因数分解します。
共通因数 \(a\) をくくり、さらに乗法公式の逆を使うと
\(a t^2 – a s^2 = a( t^2 – s^2 ) = a (t – s)(t + s)\)
先ほどの式の分子にあてはめると
（変化の割合） = \(\displaystyle \frac{a (t – s)(t + s)}{t – s}\)
ここで、分母と分子に \(t – s\) があるので、\(t – s\) で約分して
（変化の割合）= \(a (s + t)\)
が得られます。
例題で確認しよう
実際に、具体的な問題で確かめてみましょう。
たとえば、\(y = 3x^2\) で、\(x\) が \(-1\) から \(2\) まで変化するときの変化の割合は、
\(a=3\)、\(s=-1\)、\(t=2\) ということなので、
（変化の割合） = \(a ( s + t ) = 3 (-1 + 2) = 3 \times 1 =\) \(3\)
となります。
まとめ
●「関数 \(y=ax^2\) 」で、 \(x\) が \(s\) から \(t\) に変化するときの変化の割合は次のように求められます。
（変化の割合）＝ \(a ( s + t )\)
●「関数 \(y=ax^2\) 」の変化の割合は、「1次関数」の変化の割合と違い、一定の値ではない。
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