a√b の形に変形するコツは？√の中を簡単にする裏技！

平方根（ルート）の計算で「\(\sqrt{48}\) や \(\sqrt{72}\) を \(a \sqrt{b}\) の形に変形しなさい」と言われて、「うわ、また素因数分解か…」と少し気が重くなること、ありませんか？

でも実は、√ の中の数を全部素因数分解しなくても、もっとラクに変形する方法があります！

それが 「平方数の倍数かどうかを考える」 というテクニックです。

\(a \sqrt{b}\) の形に変形するって何？

まず、「\(a \sqrt{b}\) の形に変形する」とは何だったのか、簡単に復習しておきましょう。

• \(\sqrt{8}=\sqrt{2 \times 2 \times 2}= 2\sqrt{2} \)
• \(\sqrt{12}=\sqrt{2 \times 2 \times 3}= 2\sqrt{3} \)
• \(\sqrt{18}=\sqrt{2 \times 3 \times 3}= 3\sqrt{2} \)

このように、√の中をできるだけ小さくして、「ルートの外に数を出す」ことが 「\(a \sqrt{b}\) の形に変形する」 ということです。

多くの学校では「素因数分解して、同じ数が2つあれば外に出す」と教わるかもしれません。

でも、いちいち素因数分解するのは手間がかかりますよね。

 コツは「平方数の倍数になっていないか？」を考えること！

そこで便利なのが、平方数の倍数かどうかを考える方法です。

平方数とは

・１（＝1²）
・４（= 2²）
・９（= 3²）
・16（= 4²）
・25（= 5²）

など、「何かの2乗の数」のことをいいます。

この平方数が √ の中の数に「かけ算の形」で含まれていれば、そこから外に出せるということです。

例①：\(\sqrt{48}\)

「48」は、16×3 なので

\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\)

素因数分解しなくても、48が16の倍数 であることに気づけば、すぐに \(a \sqrt{b}\) の形に変形できるということです！

例②：\(\sqrt{72}\)

「72」は、36×2 なので

\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}\)

72を素因数分解するとなると、時間がかかりますが、72が36の倍数 であることに気づけば、これもすぐに \(a \sqrt{b}\) の形に変形できますね！

よく出る \(a \sqrt{b}\) の形に変形できる数

√ の中が平方数の倍数になっている、よく出る \(a \sqrt{b}\) の形に変形できる数を表にまとめます。

倍数	\(\sqrt{4}\)の倍数	\(\sqrt{9}\)の倍数	\(\sqrt{16}\)の倍数	\(\sqrt{25}\)の倍数	\(\sqrt{36}\)の倍数
2倍	\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)	\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)	\(\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)	\(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\)	\(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)
3倍	\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)	\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)	\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)	\(\sqrt{75}=5\sqrt{3}\)	\(\sqrt{108}=6\sqrt{3}\)
5倍	\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)	\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)	\(\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)	\(\sqrt{125}=5\sqrt{5}\)	\(\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)
6倍	\(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\)	\(\sqrt{54}=3\sqrt{6}\)	\(\sqrt{96}=4\sqrt{6}\)	\(\sqrt{150}=5\sqrt{6}\)	\(\sqrt{216}=6\sqrt{6}\)

ここにある数は、頻出ですので、ある程度覚えておくといいです！

おまけ：\(a \sqrt{b}\) の形に変形できない数は？

最後に、「\(\sqrt{7}\)」「\(\sqrt{11}\)」「\(\sqrt{13}\)」など、どの平方数の倍数でもない場合は、そのままでOKです。

これらはすでに最も簡単な形になっているということです。

まとめ

\(a \sqrt{b}\) の形の変形は、