「1次関数 \(y=ax+b\) 」では、変化の割合は \(a\) の値になる、ということを授業で習ったと思います。
つまり、1次関数では「変化の割合」が一定の値ということです。
では、「反比例 \(y = \displaystyle \frac{a}{x}\) 」の場合は1次関数のように「一定の値」になるのでしょうか？
この記事では、反比例における変化の割合について、実際に計算しながら解説していきます！
変化の割合とは？
まず、「変化の割合」の意味をおさらいしましょう。
変化の割合とは、 \(x\) が”1″増えたときに \(y\) がどれだけ増えるのかを表したものです。
求め方は次のようになります。
（変化の割合）＝ \(\frac{{y}\text{の増加量}}{{x}\text{の増加量}}\)
反比例 \(y = \displaystyle \frac{a}{x}\) の場合
では、「反比例 \(y = \displaystyle \frac{a}{x}\)」の変化の割合を求めてみましょう。
\(x\) が \(s\) から \(t\) まで変化するとします。
このとき、\(x\) と \(y\) の関係は下の表のようになります。
| \(x\) | \(s\) | → | \(t\) |
| \(y\) | \(\displaystyle \frac{a}{s}\) | → | \(\displaystyle \frac{a}{t}\) |
このとき、\(x\) の増加量は、（変化後）ー（変化前）を計算して
\(x\) の変化量 = \(t – s\)
となります。
次に、\(y\) の増加量は次のように表せます。
\(y\) の変化量 = \(\displaystyle \frac{a}{t} – \displaystyle \frac{a}{s}\)
よって、変化の割合は、
（変化の割合） = \(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{t} – \displaystyle \frac{a}{s}}{t – s}\)
となります。
ここで、分子に注目して、分子を式変形していきます。
\(\displaystyle \frac{a}{t} – \displaystyle \frac{a}{s}\) を通分すると
\(\displaystyle \frac{a}{t} – \displaystyle \frac{a}{s} = \displaystyle \frac{as}{st} – \displaystyle \frac{at}{st} = \displaystyle \frac{as-at}{st}\)
となり、分子を \(-a\) でくくると、
\(\displaystyle \frac{-a(t-s)}{st}\)
先ほどの式の分子にあてはめると
（変化の割合） = \(\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{-a(t-s)}{st}}{t-s}\)
ここで、分母と分子に \(t – s\) があるので、\(t – s\) で約分して
（変化の割合）= \(-\displaystyle \frac{a}{st}\)
が得られます。
例題で確認しよう
実際に、具体的な問題で確かめてみましょう。
たとえば、\(y = \displaystyle \frac{12}{x}\) で、\(x\) が \(-2\) から \(3\) まで変化するときの変化の割合は、
\(a=12\)、\(s=-2\)、\(t=3\) ということなので、
（変化の割合） = \(-\displaystyle \frac{12}{-2\times 3} = \displaystyle \frac{-12}{-6} =\) \(2\)
となります。
まとめ
●「反比例 \(y = \displaystyle \frac{a}{x}\) 」で、 \(x\) が \(s\) から \(t\) まで変化するときの変化の割合は次のように求められます。
（変化の割合）＝ \(-\displaystyle \frac{a}{st}\)
●「反比例」の変化の割合は、「1次関数」の変化の割合と違い、一定の値ではない。
「反比例」の変化の割合を求めることはあまりないかもしれませんが、覚えておくといいかもしれません！
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