因数分解の応用問題を解説！【よく出る3選】

中3で学習する因数分解。そもそも因数分解って？応用問題が難しくてできない！と思っている人もいるかと思います。

この記事では、因数分解について、その意味と具体的な応用問題問題を３パターンに分けて、その解き方を徹底解説します！

そもそも因数分解とは

因数分解とは、多項式をいくつかの因数の積として表すことをいいます。

具体的には

・\(4a^2+6a=2a(2a+3)=\)\(2\times a \times (2a+3)\)
・\(x^2+5x+6=(x+2)(x+3) =\) \((x+2) \times (x+3)\)

のようにかけ算の形にすることです。

展開の逆の操作ともいえますね。

応用問題１

因数分解するときには

①共通因数でくくる
②乗法公式の逆を使う
\(\, \,\)⑴ \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
\(\, \,\)⑵ \(x^2+2ax+a^2=(x+a)^2\)
\(\, \,\)⑶ \(x^2-2ax+a^2=(x-a)^2\)
\(\, \,\)⑷ \(x^2-a^2=(x+a)(x-a)\)

の順で、因数分解できないか考えていきます。

今回の式では、①の共通因数でくくることはできません。
そして②の乗法公式の逆ですが、項が4つあるため、どれにもあてはまりません。

ではどのように因数分解するのか？
問題の式を\(\,\) \(x^2-4x+4\)／\(-y^2\)\(\,\)と分けて考えると
\(x^2-4x+4\)\(\,\)の部分が②の乗法公式の逆⑶が使えることがわかります。

\(x^2-4x+4-y^2\)
\(=(x-2)^2-y^2\)

となり、\(x-2=A\)とおくと

\(A^2-y^2\)
\(=(A+y)(A-y)\)
\(=\)\((x-2+y)(x-2-y)\)

となります。

応用問題２

これも先ほどと同じように、①の共通因数でくくることはできません。
②の乗法公式の逆もどれにもあてはまりません。

ですが、この問題の式も
\(xy-y\)／\(-2x+2\)\(\,\)と分けて考えると
\(xy-y\)\(\,\)と\(\,\)\(-2x+2\)\(\,\)のそれぞれで①の共通因数でくくることができます。

\(xy-y-2x+2\)
\(=y(x-1)-2(x-1)\)

となり、\(x-1=A\)とおくと

\(yA-2A\)
\(=A(y-2)\)
\(=\)\((x-1)(y-2)\)

となります。

応用問題３

この問題の式は\(\,\)\(x^2-1\)\(\,\)という同じまとまりがあるので \(A\) とおきかえます。

\((x^2-1)^2-(x^2-1)-6\)
\(=A^2-A-6\)
\(=(A+2)(A-3)\)
\(=(x^2-1+2)(x^2-1-3)\)
\(=(x^2+1)(x^2-4)\)

となり、因数分解完了。と思いきや、
\((x^2-4)\)\(\,\)の部分がまだ因数分解できます！
②の乗法公式の逆⑷を使って

\((x^2+1)(x^2-4)\)
\(=\)\((x^2+1)(x+2)(x-2)\)

となり、これで因数分解完了です。

まとめ

因数分解の応用問題は

このポイントがとても大切です！