有理数と無理数はどっちが多いの？

「数」には「有理数」と「無理数」がありますが、どちらが多いと思いますか？

実は、無理数のほうが圧倒的に多いんです！

この記事では、その理由を説明していきます。

有理数ってどんな数？
無理数ってどんな数？
有理数の多さ
無理数の多さ
「数えられる無限」と「数えられない無限」
まとめ

有理数ってどんな数？

有理数は、「分数で表せる数」のことです。

たとえば

・ 1, -3, 0, 42…（整数は有理数！分数にすると、\(1 = \displaystyle \frac{1}{1}, -3 = \displaystyle \frac{-3}{1}\)）

・\( \displaystyle \frac{1}{2}\),\( -\displaystyle \frac{7}{4}\), 0.5（もともと分数はもちろん有理数。\(0.5 = \displaystyle \frac{5}{10}\)）

・小数点以下が規則的に続く無限小数も有理数です（\(0.333\ldots = \displaystyle \frac{1}{3}\)）。

分数で表せる数はすべて「有理数」なので、数直線上には無限に有理数が並んでいます。

無理数ってどんな数？

無理数は、「分数で表せない数」のことです。

たとえば

・\(\sqrt{2}\),\(\sqrt{5}\), \(\pi \) など。

• 小数点以下が不規則に続く無限小数（\(0.101001000100001\ldots \)）。

無理数は、有理数と違って「分数で表せない」という意味で、数直線上にポツポツと存在しているように感じます。でも実際には、有理数よりもずっと多いんです。

有理数の多さ

「有理数は数直線上に無限にある」と聞くと、

無理数が無限にある有理数より多い…？

と思うかもしれません。

確かに、有理数は数直線上のどんなに小さな範囲にでもたくさん見つかります。

たとえば

・ 0 と 1 の間には、\(\displaystyle \frac{1}{2}\), \(\displaystyle \frac{1}{3}\), \(\displaystyle \frac{3}{4}\) などが無限にあります。

• \(\displaystyle \frac{1}{2}\) と \(\displaystyle \frac{1}{3}\) の間にも、\(\displaystyle \frac{1}{4}\), \(\displaystyle \frac{3}{10}\), \(\displaystyle \frac{5}{12}\) などが無限にあります。

つまり、有理数は「数直線上に無限に点在している」わけです。

無理数の多さ

無理数は、点在している有理数の「間を埋め尽くす」ように存在しています。

つまり、どんな2つの有理数の間にも、無限に無理数が見つかるんです。

数直線をイメージしてください。

① 有理数は、数直線の上で「ポツポツと点を打った」ようなものです。

② 一方、無理数は、その「点と点の隙間をすべて埋める」存在です。

有理数が「数えられる無限の点」なら、無理数は「その隙間全部を埋める無限の点」と考えてもらうとわかりやすいと思います。

「数えられる無限」と「数えられない無限」

有理数は「数えられる無限」

実は、有理数はどんなにたくさんあっても「数えられる」無限なんです。

たとえば、次のように有理数は順番に並べることができます。

0, \(\displaystyle \frac{1}{1}\), \(-\displaystyle \frac{1}{1}\), \(\displaystyle \frac{1}{2}\), \(-\displaystyle \frac{1}{2}\), \(\displaystyle \frac{1}{3}\), \(-\displaystyle \frac{1}{3}\), \(\dots\)

このように、有理数には「順番をつける」ことができます。これを「可算無限」といいます。