円に内接する四角形の性質とは？図でわかりやすく解説！

中学数学では、円周角の定理を用いて図形と角度の関係を学びますが、「円に内接する四角形」もそのひとつです。

この記事では、円に内接する四角形の性質と、実際の問題への活用法について、図とともにわかりやすく解説します！

円に内接する四角形とは？

まずは用語の確認からしましょう。

円に内接する四角形とは、

四角形の4つの頂点がすべて、１つの円周上にあるような四角形

のことです。

このとき、その円は四角形の 外接円 と呼ばれます。

円に内接する四角形には、次のような性質があります。

定理

円に内接する四角形において
【1】対角の和は180°である。
【2】外角はそれととなり合う内角の対角に等しい。

図をもとに、定理を証明してみましょう。

下の図において、

\(∠x+∠y=180°\) と、\(∠DCE＝∠x\) であることを示せばよい。

円周角の定理より
\(∠a=2∠x\)，\(∠b=2∠y\)
\(∠a+∠b=180°\)
であるから

\(2∠x+2∠y = 360° \)
よって
\(∠x+∠y = 180° \) ･･･ ①

また
\(∠DCE+∠y=180°\) ･･･②

①，②より
\(∠DCE=∠x\)

問題

下の図において、\(∠x\)，\(∠y\) の大きさを求めなさい。

● 円に内接する四角形では、対角の和は180°である。

● 外角はそれととなり合う内角の対角に等しい。

● 実際の問題では、この定理を使えば角度をすばやく求められる！

高校で学習する内容なので、覚えておくと周りの人と差をつけられますよ！