√2が無理数であることの証明【背理法】

学校で「\(\sqrt{2}\) は無理数」だと学習したと思います。これは実は、古代ギリシャの時代から知られていた有名な事実です。

でも、「なぜ無理数なの？」と聞かれると、答えに困ってしまう人も多いのではないでしょうか。

この記事では、\(\sqrt{2}\) が無理数であることを「背理法」で証明する方法を、紹介していきます！

そもそも「無理数」とは

「無理数」とは

「分数で表せない数」のことです。（「分数で表せる数」を有理数といいます。）
つまり、「整数 \(a\)，\(b\)（\(b \ne 0\)）を用いて、分数 \(\displaystyle \frac{a}{b}\) の形で表せない数」のことをいいます。

\(\sqrt{2}\) が無理数であることは、
どんな整数 \(a\)，\(b\)（\(b \ne 0\)）を使っても、

\(\sqrt{2}=\displaystyle \frac{a}{b}\)

となる分数は存在しない、ということを「背理法」を使って証明します。

「背理法」ってなに？

「背理法」とは

「もし◯◯だと仮定したら、矛盾が起きた。だから◯◯は間違い！」
という考え方です。

たとえば、「\(\sqrt{2}\) は分数で表せる（有理数だ）」と仮定して、その仮定からおかしなことが起きたら、「やっぱり \(\sqrt{2}\) は無理数だったんだ！」と結論づけるわけです。

\(\sqrt{2}\) が無理数であることの証明

では、さっそく証明していきましょう。

ステップ①：仮定してみる

まずは、\(\sqrt{2}\) が「有理数」だと仮定します。

つまり、ある整数 \(a\)，\(b\)（\(b \ne 0\)）を使って

\(\sqrt{2}=\displaystyle \frac{a}{b}\)

と表せると仮定します。

ここで、\(a\) と \(b\) は互いに素（最大公約数が１）とします。
これ以上約分できない分数にしておく、というのがポイントです。

ステップ②：両辺を２乗する

両辺に \(b\) をかけます。

\(\sqrt{2}b=a\)

両辺を２乗します。

\(2b^2=a^2\)

この式から分かることは･･･？

ステップ③：\(a^2\) は偶数→ \(a\) も偶数

この式から、\(a^2\) は \(2b^2\) と表されるので、偶数ですね。

偶数の２乗 → 元の数も偶数
なので、 \(a\) も偶数です。

よって、\(a=2k\)（\(k\) は整数）と表すことができます。

ステップ④：\(a=2k\) を代入してみる

式 \(2b^2=a^2\) に \(a=2k\) を代入すると

\(\begin{aligned}
2b^2 &= (2k)^2 \\
2b^2 &= 4k^2 \\
b^2 &= 2k^2
\end{aligned}\)

今度は、\(b^2\) が偶数となりました。

つまり、\(b^2\) は偶数 → \(b\) も偶数 です。

ステップ⑤：\(a\) も \(b\) も偶数になってしまった！

ここでおかしなことが起きました。

\(a\) も \(b\) も偶数 ということは、\(\displaystyle \frac{a}{b}\) が約分できてしまいます。
これは、最初の仮定の これ以上約分できない分数にしておいたことに矛盾します。

結論：\(\sqrt{2}\) は無理数！

最初に「\(\sqrt{2}\) は分数で表せる」と仮定したら、矛盾が起きました。

つまり、その仮定が間違いだったことになります。

よって、

\(\sqrt{2}\) は分数で表せない ＝ 無理数である

と証明できました！

補足：他にも無理数はある！

この証明は、\(\sqrt{2}\) だけでなく
\(\sqrt{3}\) や \(\sqrt{5}\) 、 \(\sqrt{7}\) などについても、同じような方法で証明できます。

ただし、\(\sqrt{4}=2\) のように整数になる場合は、有理数ですね！

まとめ